Reale Wachstumsvorgänge werden in der Regel durch äußere Umstände nach oben bzw. nach unten begrenzt.
Man spricht von beschränktem Wachstum.
Die Formel für natürliches Wachstum wird um die Schranke S erweitert und man hat folgenden Ansatz:
| Beschränktes Wachstum
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Beschränkter Zerfall
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Bedeutung der Variablen
- S ist die obere oder untere Schranke, der das Wachstum zustrebt.
- t ist der Beobachtungszeitpunkt.
- f(t) ist der zum Zeitpunkt t gemessene Wert.
- k ist die Wachstumskonstante.
- Der Anfangsbestand ist wegen f(0)=S±cek·0=s&plusmin;c nicht einfach c
- wie beim natürlichen Wachstum sondern S-c bei beschränktem Wachstum bzw. S+c bei beschränktem Zerfall!
Anmerkungen
- Die Wachstumskonstante hat bei beschränktem Wachstum ein negatives Vorzeichen!
ist für wachsendes t eine Nullfolge!
Wie kommt die Formel für bachränktes Wachstum zustande?
Wir erklären das am einfachsten an einer kleinen Bilderstrecke und fangen mit dem beschränkten Zerfall an. Dabei gehen wir von der Formel für natürliches Wachstum aus und spiegeln den Graphen an der y-Achse. Dadurch erhalten wir eine Funktion, die mit wachsendem t gegen Null strebt. Anschließend wird die Funktion um die Schranke S in y-Richtung verschoben ... und schon haben wir die Formel für beschränkten Zerfall, siehe Abbildungen.
Für beschränktes Wachstum gehen wir, wiederum von der Formel für natürliches Wachstum ausgehend, ganz ähnlich vor. Die Graph wird erneut an der y-Achse gespiegelt, dann noch einmal an der x-Achse und wird dann erst um die Schranke S in y-Richtung veschoben. Daraus entsteht die Formel für beschränktes Wachstum.
Rechenbeispiel
Ein beschränkter Wachstumsprozess ist gegeben durch f(t)=10-2e-0,02t, wobei t in Minuten gemessen wird.
- Bestimme den Anfangsbestand und den Bestand nach einer Stunde.
- Welche Schranke t beschränkt das Wachstum?
- Wann hat der Bestand 90% von S erreicht?
- Setze t=0 und erhalte f(0)=10-2e-0,02·0=8. Dies ist der Anfangsbestand.
Der Bestand nach einer Stunde ist f(60)=10-2e-0,02·60≈9,398. - Entweder liest man die obere Schranke direkt mit S=10 ab oder man lässt t→∞ gehen und erhält ebenfalls S=10, da e-0,02t für t→∞ eine Nullfolge ist.
- Wenn S=10 ist, dann sind 90% davon 9. Die Frage ist also: Für welches t wird f(t)=9?
Dieser Ansatz liefert eine Gleichung, die wir nur noch nach t auflösen müssen.
Ergebnis: Nach etwa 34,7 Minuten werden 90% des Maximalbestands erreicht.
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